TI POLITALA Matdis 1D

TUGAS KULIAH MATEMATIKA DISKRIT
Nama               :    Yunita Arfiani
Kelas                :    1D
NIM                 :    1801301074
Mata kuliah      :    Matematika diskrit
Semester          :     1

MATERI KOMBINATORIAL

Kombinatorial

      Kombinatorial adalah cabang matematika yang mempelajari pengaturan objek-objek. Hasil yang akan kita peroleh dari proses kombinatorial adalah jumlah cara pengaturan objek-objek tertentu di dalam himpunannya. Kombinatorial digunakan untuk menentukan cara pengaturan terhadap objek-objek penyusun, dimana objek tersebut merupakan objek diskrit yang memiliki tipe berbeda atau tidak berhubungan satu sama lain.

      Hasil pada kombinatorial, didasarkan pada perolehan suatu percobaan dalam bentuk proses fisik yang hasilnya dapat diamati.

      Contoh permasalahan yang harus dipecahkan menggunakan kombinatorial.

      -) Nomor plat di negara X terdiri dari 5 huruf dan diikuti oleh 2 angka. Angka pertama tidak boleh 0. Berapa banyak nomor plat yang dapat dibuat?

Jawab :

12345AB

12345AC

12345BC

...

34567MC

34567MK

...

Dan seterusnya.

Percobaan

      Kombinatorial didasarkan pada hasil yang diperoleh dari suatu percobaan atau eksperimen, Perbocaan adalah proses fisik yang hasilnya dapat dilihat atau diamati.

      Contoh-contoh percobaan dan hasilnya sebagai berikut.

1. Melempar dadu

      Enam hasil percobaan yang mungkin untuk pelemparan dadu adalah muka dadu 1, 2, 3, 4, 5, dan 6.

2. Melempar uang koin Rp.100

      Hasil percobaan melempar koin 100 ada dua kemungkinan, muka koin yang bergambar burung garuda atau muka koin yang bertuliskan angka 100.

3. Memilih lima orang wakil dari 100 mahasiswa

      Hasil yang diperoleh adalah perwakilan yang beranggotakan lima orang mahasiswa. Kemungkinan perwakilan yang dapat dibentuk banyak sekali.

4. Menyusun jumlah kata yang panjangnya 5 huruf dari huruf-huruf a, b, c, d, dan e. Tidak boleh ada huruf yang terulang di dalam kata.

      Hasil yang diperoleh adalah string yang disusun oleh huruf-huruf tersebut, misalnya abcde, abced, acdeb, dan seterusnya.

Kaidah dasar menghitung

1. Kaidah penjumlahan

      Bila percobaan 1 mempunyai p hasil percobaan yang mungkin terjadi (atau menghasilkan p yang kemungkinan adalah jawaban), percobaan 2 mempunyai q hasil percobaan yang mungkin terjadi (atau menghasilkan q yang kemungkinan adalah jawaban). Maka bila hanya satu percobaan saja yang dilakukan, terdapat p+q kemungkinan hasil percobaan atau menghasilkan p+q kemungkinan jawaban yang terjadi.

      Contoh :

      Ketua kelas 1D akan dipilih 1 orang (pria atau wanita). Jumlah pria di kelas 1D = 55 orang dan jumlah wanita di kelas 1D = 15 orang. Berapa banyak cara memilih ketua kelas?

      Penyelesaian :

      55 + 15 = 70 cara.

2. Kaidah perkalian

      Bila percobaan 1 mempunyai p hasil percobaan yang mungkin terjadi (atau menghasilkan p yang kemungkinan adalah jawaban), percobaan 2 mempunyai q hasil percobaan yang mungkin terjadi (atau menghasilkan q yang kemungkinan adalah jawaban). Maka bila percobaan 1 atau 2 dilakukan, maka terdapat p.q hasil percobaan, atau menghasilkan p.q yang kemungkinan jawaban.

      Contoh :

      Dua orang perwakilan kelas 1D akan menemui dosen untuk melihat nilai hasil ujian. Perwakilan yang akan dipilih adalah 1 orang pria dan 1 orang wanita. Berapa banyak cara untuk memilih 2 orang perwakilan kelas tersebut?

      Penyelesaian :

      55 . 15 = 825 cara.

Perluasan kaidah dasar menghitung

      Misalkan ada n percobaan, masing-masing dengan pi hasil

1. Kaidah penjumlahan (rule of sum)

      p1 + p2+...+pn hasil

2. Kaidah perkalian (rule of product)

      p1 . p2. ... . pn hasil

      Bit biner hanya 0 dan 1. Berapa banyak string biner yang dapat dibentuk jika :

      a. Panjang string 5 bit

      b. Panjang string 8 bit (= 1 byte)

      Penyelesaian :

      a. 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 25 = 32 buah

      b. 28 = 256 buah

Permutasi

      Permutasi adalah bentuk khusus aplikasi kaidah perkalian, permutasi merupakan jumlah urutan berbeda dari pengaturan objek-objek.

      Misalkan jumlah objek adalah n, maka

      Urutan pertama dipilih dari n objek,

      urutan kedua dipilih dari (n-1) objek,

      urutan ketiga dipilih dari (n-2) objek,

      ...

      urutan terakhir dipilih dari 1 objek yang tersisa.

      Menurut kaidah perkalian, permutasi dari n objek adalah n(n-1)(n-2)...(2)(1) = n!. Jumlah susunan yang berbeda dari pemilihan r objek yang diambil dari n objek disebut permutasi - r, dilambangkan dengan p(n, r).

      Contoh :

      1. Berapa banyak "kata" yang terbentuk dari kata "HAPUS"?

      Penyelesaian :

      Cara 1 : (5)(4)(3)(2)(1) = 120 kata

      Cara 2 : p(5, 5) = 5! = 120 kata

      2. Berapa banyak cara mengurutkan nama 25 orang mahasiswa?

      Penyelesaian :

      p(25, 25) = 25!

      3. Ada 6 buah bola berbeda warna dan 3 buah kotak. Masing-masing kotak hanya boleh diisi 1 buah bola. Berapa jumlah urutan berbeda yang mungkin dibuat dari penempatan bola ke dalam kotak-kotak tersebut?

      Penyelesaian :

      Kotak 1 dapat diisi oleh salah satu dari 6 bola (ada 6 pilihan),

      Kotak 2 dapat diisi oleh salah satu dari 5 bola (ada 5 pilihan),

      Kotak 3 dapat diisi oleh salah satu dari 4 bola (ada 4 pilihan),

      Jumlah urutan berbeda dari penempatan bola = (6)(5)(4) = 120 urutan.

Kombinasi

      Kombinasi merupakan bentuk khusus dari permutasi. Jika pada permutasi urutan kemunculan diperhitungkan, maka pada kombinasi urutan kemunculan diabaikan. Misalnya urutan abc, bca, acb dianggap sama dan hanya dihitung sekali.

      Rumusnya disebut dengan rumus permutasi - r, dan dilambangkan dengan c(n, r).

      Contoh :

      -) Berapa banyak cara membentuk panitia yang beranggotakan 5 orangdari sebuah kelompok yang terdiri dari 25 orang?

      Penyelesaian :

      Panitia atau komite adalah kelompok yang tidak terurut, artinya setiap anggota di dalamnya memiliki kedudukan yang sama.

      Misalnya 5 orang yang dipilih adalah A, B, C, D, dan E, maka urutan penempatan masing-masingnya tidak penting. Banyaknya cara memilih anggota panitia yang terdiri dari 5 orang adalah c(25, 5) = 53130 cara.

Interpretasi kombinasi

      1. c(n, r) = banyaknya himpunan bagian yang terdiri atas r elemen yang dapat dibentuk dari himpunan dengan n elemen.

      2. c(n, r) = cara memilih r elemen dari n elemen yang ada, tetapi urutan elemen di dalam susunan hasil pemilihan tidak penting.

      Contoh :

      Misalnya A = {1, 2, 3}, jumlah himpunan bagian dengan 2 elemen yang dapat dibentuk dari himpunan A ada 3 buah, yaitu :

      {1, 2} = {2, 1}

      {1, 3} = {3, 1}

      {2, 3} = {3, 2}

Daftar pustaka :

Munir, Rinaldi, 2010, "Matematika diskrit edisi 3 revisi keempat", Bandung : Informatika Bandung.

http://julixpoltesa22.blogspot.com/2012/07/kombinatorial.html

http://ashabulikhwan.blogspot.com/2013/06/matematika-diskrit-kombinatorial_5.html

http://ovieciinduts.blogspot.com/2012/01/teori-kombinatorial.html

TI POLITALA Matdis 1D

TUGAS KULIAH MATEMATIKA DISKRIT

Nama                      : Yunita Arfiani

Kelas                       : 1D Teknik Informatika

NIM                        : 1801301074

Matkul                    : Matematika diskrit

Semester                 : 1

MATERI FUNGSI

Fungsi

   Fungsi adalah relasi atau hubungan yang memasangkan setiap anggota himpunan daerah asal (domain) tepat satu, ke himpunan daerah kawannya (kodomain). Setiap anggota himpunan daerah asal mempunyai pasangan,dan hanya tepat satu dipasangkan dengan daerah kawannya. Setiap fungsi pasti merupakan relasi.

   Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi yang memasangkan setiap elemen dari A secara tunggal dengan elemen pada B. Apabila f memetakan suatu elemen x di A ke suatu y di B ini dinyatakan dengan notasi f(x), dan biasa ditulis dengan f : x relasi f(x), sedangkan x biasa disebut prapeta dari f(x).

Domain, kodomain dan range

Domain adalah daerah asal, kodomain adalah daerah kawan, himpunan nilai yang diperoleh dari relasi antara domain dan kodomain tersebut disebut daerah hasil atau range.

Jenis jenis fungsi

A). Fungsi Konstan

      Suatu fungsi f : A relasi B ditentukan dengan rumus f(x) disebut fungsi konstan. Apabila untuk setiap anggota domain fungsi selalu berlaku f(x) = C, di mana C bilangan konstan/dengan nilai tetap. Fungsi konstan disebut juga fungsi tetap. Contoh : f(x) = 3, maka Rf = 3.

B).Fungsi Polinomial

     Polinom atau suku banyak disebut dengan polinom, merupakan bentuk suku suku dengan nilai banyak yang disusun dari perubah variabel dan konstanta. Operasi yang digunkan hanya penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pangkat bilangan bulat tak negative. Contoh :

A : {1, 2, 3}
B : {2, 5, 7, 10}

f(x) : x² + 1

Jadi,

f(1) : 1² + 1 = 2

f(2) : 2² + 1 = 5

f(3) : 3² + 1 = 10

Rf : {2, 5, 10}

C). Fungsi Pangkat

       fungsi yang variabel bebasnya berpangkat sebuah bilangan nyata bukan nol. y = _xn ; n = bilangan nyata bukan nol.

      Contoh :

x : {Bilangan bulat positif <3}

y : {1, 2, 3, 4}

f(x) : ₂x

Jadi,

x : {1, 2}

f(1) : ₂1 = 2

f(2) : ₂2 = 4

Rf : {2, 4}

D). Fungsi Floor dan Ceiling

      Misalkan x adalah bilangan riil, berarti x berada diantara dua bilangan bulat.
      Fungsi floor dari x:
[x] menyatakan nilai bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x
      Fungsi ceiling dari x:
[x] menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan x

      Dengan kata lain, fungsi floor membulatkan nilai x ke bawah, sedangkan fungsi ceiling membulatkan nilai x ke atas.

      Contoh nilai fungsi floor dan ceiling :

E). Fungsi Identitas

      Fungsi R relasi R yang didefinisikan sebagai f : x relasi x disebut fungsi identitas.

Sifat sifat fungsi

A). Fungsi Injektif (satu satu)

      Fungsi f : A→ B dikatakan fungsi satu satu, jika setiap elemen himpunan A mempunyai pasangan tepat dan hanya 1 yang tidak sama pada elemen himpunan B. Contoh :

B). Fungsi Surjektif (Pada)

      Fungsi f : A→ B dikatakan fungsi pada, jika setiap elemen himpunan B muncul sebagai pasangan dari sekurang- kurangnya satu elemen himpunan A. Dan jika setiap elemen himpunan B merupakan pasangan dari satu atau lebih elemen himpunan A. Contoh :

C). Fungsi Bijektif (Korespondensi)

      Fungsi f : A→ B dikatan fungsi bijeksi jika sebuah fungsi yang merupakan fungsi satu satu (Injektif) maupun fungsi pada (Surjektif).

Ekuivalen fungsi

    Suatu fungsi dinyatakan ekuivalen jika, f = g / f(x) = g(x). Artinya fungsi f(x) dan fungsi g(x) sama atau memiliki keterkaitan satu sama lain. Contoh :

Diketahui : f(x) : ₂x 

                    A :{1, 2, 3}

                    B : {Bilangan asli kurang dari = 10}

                    Rf : {2, 4, 8}

Berdasarkan hasil fungsi f(x) diatas, apakah f ekuivalen dengan g. jika diketahui g : A relasi B, g : {x | = 2 . ₂x-1}

Cara 1 dengan membuktikan range nya.

g : {x | = 2 . ₂x-1} dapat di tulis menjadi g(x) : 2 . ₂x-1

Kemudian masukkan masing masing variabel domain A, kedalam setiap fungsi x.

g(1) : 2 . ₂1-1 = 2

g(2) : 2 . ₂2-1 = 4

g(3) : 2 . ₂3-1 = 8

Rg : {2, 4, 8}

Hasil nya terbukti f = g, karena Rg nya memiliki hasil yang sama. Jadi, f dan g adalah ekuivalen.

Cara 2 dengan membuktikan nilai fungsi f(x) nya.

g(x) : ₂1 . ₂x-1

        : ₂1 + x - 1

        : ₂x = f(x)

(tuliskan rumus yang ada pada soal, angka dua yang sebelumnya tidak ada pangkat memiliki pangkat 1, karena jika suatu bilangan yang tidak memiliki pangkat, dianggap memilki pangkat 1, jadi bisa dituliskan seperti contoh di atas untuk memudahkan pengerjaan)

(Pada tahap selanjutnya menggunakan cara coret, dengan mencoret angka 1).

Invers fungsi

   Jika f adalah fungsi berkoresponden satu-ke-satu dari A ke B, maka kita dapat menemukan balikan (invers) dari f, karena hanya fungsi yang berkorespondensi satu satu saja yang dapat dicari inversnya. Balikan fungsi dilambangkan dengan f^-1. Misalkan a adalah anggota himpunan A dan b adalah anggota himpunan B, maka f^-1(b) = a jika f^-1(a) = b. Fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu sering dinamakan juga fungsi yang invertible (dapat dibalikkan), karena kita dapat mendefinisikan fungsi balikannya. Sebuah fungsi dikatakan not invertible (tidak dapat dibalikkan) jika ia bukan fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, karena fungsi itu tidak dapat dibalikkan.

   Dapat disimpulkan bahwa daerah hasil dari f^-1 (x) merupakan daerah asal bagi f(x) begitupun sebaliknya. Contoh :

Carilah invers fungsi f jika f : bilangan bulat, dengan f(n) : n+2

f(n)    : n+2

n        : f(n) - 2

f^-1(n) : n-2

Contoh lain :

Komposisi fungsi

     Misalkan g adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, dan f adalah fungsi dari himpunan B ke himpunan C. Komposisi f dan g, dinotasikan dengan f o g, adalah fungsi dari A ke C yang didefinisikan oleh (f o g)(a) = f(g(a)).

(g o f)(x) artinya f dimasukkan ke g.

(f o g)(x) artinya g dimasukkan ke f.

     Fungsi komposisi memiliki beberapa sifat, diantaranya:

Tidak Komutatif

(g o f)(x) = (f o g)(x)

Asosiatif

(f o (g o h))(x) = ((f o g) o h)(x)]

Fungsi Identitas I(x) = x

(f o I)(x) = (I o f)(x) = f(x)

Contoh Soal :

Diketahui f(x) = 3x - 4 dan g(x) = 2x, maka tentukanlah rumus (f o g)(x) dan (g o f)(x) ...

Jawab:

(f o g)(x) = g dimasukkan ke f menggantikan x

(f o g)(x) = 3(2x)-4

(f o g)(x) = 6x - 4

(g o f)(x) = f dimasukkan ke g menggantikan x

(g o f)(x) = 2(3x-4)

(g o f)(x) = 6x-8

Daftar pustaka :

Amir, Muhammad Faizal, Prasojo, Bayu Hari, 2016, "Buku ajar matematika dasar", Jl. Mojopahit 666 B Sidoarjo : UMSIDA PRESS.

Munir, Rinaldi, 2010, "Matematika diskrit edisi 3 revisi keempat", Bandung : Informatika Bandung.

https://www.madematika.net/2015/08/jenis-jenis-fungsi-dan-sifat-sifat.html
http://www.rumusmatematikadasar.com/2015/01/pembahasan-fungsi-komposisi-dan-fungsi-invers.html