Nama : Yunita Arfiani
Kelas : 1D
NIM : 1801301074
Mata kuliah : Matematika diskrit
Semester : 1
MATERI KOMBINATORIAL
Kombinatorial
Kombinatorial adalah cabang matematika yang mempelajari pengaturan objek-objek. Hasil yang akan kita peroleh dari proses kombinatorial adalah jumlah cara pengaturan objek-objek tertentu di dalam himpunannya. Kombinatorial digunakan untuk menentukan cara pengaturan terhadap objek-objek penyusun, dimana objek tersebut merupakan objek diskrit yang memiliki tipe berbeda atau tidak berhubungan satu sama lain.
Hasil pada kombinatorial, didasarkan pada perolehan suatu percobaan dalam bentuk proses fisik yang hasilnya dapat diamati.
Contoh permasalahan yang harus dipecahkan menggunakan kombinatorial.
-) Nomor plat di negara X terdiri dari 5 huruf dan diikuti oleh 2 angka. Angka pertama tidak boleh 0. Berapa banyak nomor plat yang dapat dibuat?
Jawab :
12345AB
12345AC
12345BC
...
34567MC
34567MK
...
Dan seterusnya.
Percobaan
Kombinatorial didasarkan pada hasil yang diperoleh dari suatu percobaan atau eksperimen, Perbocaan adalah proses fisik yang hasilnya dapat dilihat atau diamati.
Contoh-contoh percobaan dan hasilnya sebagai berikut.
1. Melempar dadu
Enam hasil percobaan yang mungkin untuk pelemparan dadu adalah muka dadu 1, 2, 3, 4, 5, dan 6.
2. Melempar uang koin Rp.100
Hasil percobaan melempar koin 100 ada dua kemungkinan, muka koin yang bergambar burung garuda atau muka koin yang bertuliskan angka 100.
3. Memilih lima orang wakil dari 100 mahasiswa
Hasil yang diperoleh adalah perwakilan yang beranggotakan lima orang mahasiswa. Kemungkinan perwakilan yang dapat dibentuk banyak sekali.
4. Menyusun jumlah kata yang panjangnya 5 huruf dari huruf-huruf a, b, c, d, dan e. Tidak boleh ada huruf yang terulang di dalam kata.
Hasil yang diperoleh adalah string yang disusun oleh huruf-huruf tersebut, misalnya abcde, abced, acdeb, dan seterusnya.
Kaidah dasar menghitung
1. Kaidah penjumlahan
Bila percobaan 1 mempunyai p hasil percobaan yang mungkin terjadi (atau menghasilkan p yang kemungkinan adalah jawaban), percobaan 2 mempunyai q hasil percobaan yang mungkin terjadi (atau menghasilkan q yang kemungkinan adalah jawaban). Maka bila hanya satu percobaan saja yang dilakukan, terdapat p+q kemungkinan hasil percobaan atau menghasilkan p+q kemungkinan jawaban yang terjadi.
Contoh :
Ketua kelas 1D akan dipilih 1 orang (pria atau wanita). Jumlah pria di kelas 1D = 55 orang dan jumlah wanita di kelas 1D = 15 orang. Berapa banyak cara memilih ketua kelas?
Penyelesaian :
55 + 15 = 70 cara.
2. Kaidah perkalian
Bila percobaan 1 mempunyai p hasil percobaan yang mungkin terjadi (atau menghasilkan p yang kemungkinan adalah jawaban), percobaan 2 mempunyai q hasil percobaan yang mungkin terjadi (atau menghasilkan q yang kemungkinan adalah jawaban). Maka bila percobaan 1 atau 2 dilakukan, maka terdapat p.q hasil percobaan, atau menghasilkan p.q yang kemungkinan jawaban.
Contoh :
Dua orang perwakilan kelas 1D akan menemui dosen untuk melihat nilai hasil ujian. Perwakilan yang akan dipilih adalah 1 orang pria dan 1 orang wanita. Berapa banyak cara untuk memilih 2 orang perwakilan kelas tersebut?
Penyelesaian :
55 . 15 = 825 cara.
Perluasan kaidah dasar menghitung
Misalkan ada n percobaan, masing-masing dengan pi hasil
1. Kaidah penjumlahan (rule of sum)
p1 + p2+...+pn hasil
2. Kaidah perkalian (rule of product)
p1 . p2. ... . pn hasil
Bit biner hanya 0 dan 1. Berapa banyak string biner yang dapat dibentuk jika :
a. Panjang string 5 bit
b. Panjang string 8 bit (= 1 byte)
Penyelesaian :
a. 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 25 = 32 buah
b. 28 = 256 buah
Permutasi
Permutasi adalah bentuk khusus aplikasi kaidah perkalian, permutasi merupakan jumlah urutan berbeda dari pengaturan objek-objek.
Misalkan jumlah objek adalah n, maka
Urutan pertama dipilih dari n objek,
urutan kedua dipilih dari (n-1) objek,
urutan ketiga dipilih dari (n-2) objek,
...
urutan terakhir dipilih dari 1 objek yang tersisa.
Menurut kaidah perkalian, permutasi dari n objek adalah n(n-1)(n-2)...(2)(1) = n!. Jumlah susunan yang berbeda dari pemilihan r objek yang diambil dari n objek disebut permutasi - r, dilambangkan dengan p(n, r).
Contoh :
1. Berapa banyak "kata" yang terbentuk dari kata "HAPUS"?
Penyelesaian :
Cara 1 : (5)(4)(3)(2)(1) = 120 kata
Cara 2 : p(5, 5) = 5! = 120 kata
2. Berapa banyak cara mengurutkan nama 25 orang mahasiswa?
Penyelesaian :
p(25, 25) = 25!
3. Ada 6 buah bola berbeda warna dan 3 buah kotak. Masing-masing kotak hanya boleh diisi 1 buah bola. Berapa jumlah urutan berbeda yang mungkin dibuat dari penempatan bola ke dalam kotak-kotak tersebut?
Penyelesaian :
Kotak 1 dapat diisi oleh salah satu dari 6 bola (ada 6 pilihan),
Kotak 2 dapat diisi oleh salah satu dari 5 bola (ada 5 pilihan),
Kotak 3 dapat diisi oleh salah satu dari 4 bola (ada 4 pilihan),
Jumlah urutan berbeda dari penempatan bola = (6)(5)(4) = 120 urutan.
Kombinasi
Kombinasi merupakan bentuk khusus dari permutasi. Jika pada permutasi urutan kemunculan diperhitungkan, maka pada kombinasi urutan kemunculan diabaikan. Misalnya urutan abc, bca, acb dianggap sama dan hanya dihitung sekali.
Rumusnya disebut dengan rumus permutasi - r, dan dilambangkan dengan c(n, r).
Contoh :
-) Berapa banyak cara membentuk panitia yang beranggotakan 5 orangdari sebuah kelompok yang terdiri dari 25 orang?
Penyelesaian :
Panitia atau komite adalah kelompok yang tidak terurut, artinya setiap anggota di dalamnya memiliki kedudukan yang sama.
Misalnya 5 orang yang dipilih adalah A, B, C, D, dan E, maka urutan penempatan masing-masingnya tidak penting. Banyaknya cara memilih anggota panitia yang terdiri dari 5 orang adalah c(25, 5) = 53130 cara.
Interpretasi kombinasi
1. c(n, r) = banyaknya himpunan bagian yang terdiri atas r elemen yang dapat dibentuk dari himpunan dengan n elemen.
2. c(n, r) = cara memilih r elemen dari n elemen yang ada, tetapi urutan elemen di dalam susunan hasil pemilihan tidak penting.
Contoh :
Misalnya A = {1, 2, 3}, jumlah himpunan bagian dengan 2 elemen yang dapat dibentuk dari himpunan A ada 3 buah, yaitu :
{1, 2} = {2, 1}
{1, 3} = {3, 1}
{2, 3} = {3, 2}
Daftar pustaka :
Munir, Rinaldi, 2010, "Matematika diskrit edisi 3 revisi keempat", Bandung : Informatika Bandung.
http://julixpoltesa22.blogspot.com/2012/07/kombinatorial.html
http://ashabulikhwan.blogspot.com/2013/06/matematika-diskrit-kombinatorial_5.html
http://ovieciinduts.blogspot.com/2012/01/teori-kombinatorial.html
